0020-1999 东大工 数学 P18

常微分方程 微积分

実関数 $f(x)$，$g(x)$ に関する次の連立微分方程式を解け。$\alpha$ は任意の実数とする。

$$\frac{d}{dx}f(x)=\{g(x){\}}^2$$ $$\frac{d}{dx}g(x)=\alpha f(x)g(x)$$

ただし，$f(0)=0$，$g(0)=1$ とする。

---

解答：
第2式の両辺に $2g(x)$ を掛け，第1式を用いると

$$2g(x)g^{\prime }(x)=2\alpha f(x)\{g(x){\}}^2$$ $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{g(x)}^2& =2\alpha f(x)f^{\prime }(x)\\ & =\alpha \frac{d}{dx}{f(x)}^2\end{array}$$

両辺を $x$ で積分し，

$$\{g(x){\}}^2=\alpha \{f(x){\}}^2+C$$

初期条件 $f(0)=0,g(0)=1$ より，$C=1$。

$$\{g(x){\}}^2=\alpha \{f(x){\}}^2+1$$

これを第1式に代入して変数分離形を得る。

$$f^{\prime }(x)=\alpha \{f(x){\}}^2+1$$

(i) $\alpha =0$ のとき

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =1\\ ⟹f(x)& =x+C_1\end{array}$$

$f(0)=0$ より $f(x)=x$。
$\{g(x){\}}^2=1$ と $g(0)=1$ より $g(x)=1$。

$$\boxed{f(x)=x,g(x)=1}$$

(ii) $\alpha >0$ のとき

$$\int \frac{df}{\alpha f^2+1}=\int dx$$ $$\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\arctan (\sqrt{\alpha }f)=x+C_2$$

$f(0)=0$ より $C_2=0$。

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\tan (\sqrt{\alpha }x)$$

$\{g(x){\}}^2={\tan }^2(\sqrt{\alpha }x)+1=\frac{1}{{\cos }^2(\sqrt{\alpha }x)}$ であり，$g(0)=1$ より正の平方根をとる。

$$\boxed{f(x)=\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\tan (\sqrt{\alpha }x),g(x)=\frac{1}{\cos (\sqrt{\alpha }x)}}$$

(iii) $\alpha <0$ のとき

$$\int \frac{df}{\alpha f^2+1}=\int dx$$ $$\frac{1}{\sqrt{-\alpha }}\mathrm{artanh}(\sqrt{-\alpha }f)=x+C_3$$

$f(0)=0$ より $C_3=0$。

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{-\alpha }}\tanh (\sqrt{-\alpha }x)$$

$\{g(x){\}}^2=-{\tanh }^2(\sqrt{-\alpha }x)+1=\frac{1}{{\cosh }^2(\sqrt{-\alpha }x)}$ であり，$g(0)=1$ より正の平方根をとる。

$$\boxed{f(x)=\frac{1}{\sqrt{-\alpha }}\tanh (\sqrt{-\alpha }x),g(x)=\frac{1}{\cosh (\sqrt{-\alpha }x)}}$$

---

补充说明：
本题考查了非线性常微分方程组的求解。解题的核心在于通过代数变形构造出两个函数之间的守恒关系，即求出常微分方程系统的首次积分。注意到第二个方程右侧含有 $f(x)g(x)$，如果在两边同乘 $2g(x)$ 就可以凑出对 $g^2$ 求导的形式，而此时右侧正好出现 $2f(x)g^2(x)$，将其中的 $g^2$ 替换为第一个方程给出的 $f^{\prime }$，就能将右侧完美转化为常数乘上对 $f^2$ 求导的形式。通过两边同时积分并代入给定的初始条件，就可以将原本的耦合方程组化简为一个关于 $f(x)$ 的一阶可分离变量微分方程。最后在具体求解该积分时，由于分母中 $\alpha f^2+1$ 的系数 $\alpha$ 的符号会直接决定原函数的类型，因此必须根据 $\alpha$ 为零、大于零和小于零三种情况进行分类讨论，分别运用基本多项式、反正切函数和反双曲正切函数的积分公式，从而得到多项式、三角函数和双曲函数形式的解。在求解 $g(x)$ 开平方时，要注意结合初始条件 $g(0)=1$ 选取正号。