0019-1999 东大工 数学 P17

线性代数 复变函数

$a,b,c,d$ を与えられた実数とする。行列

$$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

につき，複素数 $\zeta$ を変数とする行列

$$\zeta I-T=\left(\begin{array}{cc}\zeta -a& -b\\ -c& \zeta -d\end{array}\right)$$

を考える。$T$ の固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ とする。正数 $R>|{\lambda }_1|,|{\lambda }_2|$ を固定する。

以下の問いに答えよ。

(1) $|\zeta |,|{\zeta }^{\prime }|\ge R$ につき

$$(\zeta I-T{)}^{-1}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}=\frac{1}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }\{(\zeta I-T{)}^{-1}-({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\}$$

を示せ。ただし $\zeta \ne {\zeta }^{\prime }$ とする。

(2) 複素積分の等式

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{\zeta }d\zeta (\zeta I-T{)}^{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}{e}^{{\zeta }^{\prime }}d{\zeta }^{\prime }({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\text{①}$$

を示せ。ここで行列の積分は

$$\int \left(\begin{array}{cc}{f}_{11}(\zeta )& f_{12}(\zeta )\\ f_{21}(\zeta )& f_{22}(\zeta )\end{array}\right)d\zeta =\left(\begin{array}{cc}\int f_{11}(\zeta )d\zeta & \int f_{12}(\zeta )d\zeta \\ \int f_{21}(\zeta )d\zeta & \int f_{22}(\zeta )d\zeta \end{array}\right)$$

とする。

(3) ①式を $U$ とし，

$$V=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{2\zeta }d\zeta (\zeta I-T{)}^{-1}$$

とおく。このとき留数定理により $U^2=V$ を示せ。

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解答：
(1)
$(\zeta I-T)$ と $({\zeta }^{\prime }I-T)$ は可換である。右辺の括弧内を通分する要領で計算する。

$$(\zeta I-T{)}^{-1}-({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}=(\zeta I-T{)}^{-1}\{({\zeta }^{\prime }I-T)-(\zeta I-T)\}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}$$ $$\{({\zeta }^{\prime }I-T)-(\zeta I-T)\}=({\zeta }^{\prime }-\zeta )I$$

代入して、

$$(\zeta I-T{)}^{-1}-({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}=({\zeta }^{\prime }-\zeta )(\zeta I-T{)}^{-1}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}$$

$\zeta \ne {\zeta }^{\prime }$ より両辺を ${\zeta }^{\prime }-\zeta$ で割ることで与式を得る。

$$(\zeta I-T{)}^{-1}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}=\frac{1}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }\{(\zeta I-T{)}^{-1}-({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\}\text{(証明終)}$$

(2)
行列関数 $(\zeta I-T{)}^{-1}$ の各成分は $\zeta$ の有理関数であり、その極は $T$ の固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ のみである。
仮定より $R>|{\lambda }_1|$ かつ $R>|{\lambda }_2|$ であるため、すべての極は円 $|\zeta |=R$ の内部にある。
したがって、円環領域 $R\le |\zeta |\le R+1$ において関数 $e^{\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}$ の各成分は正則である。
コーシーの積分定理より、閉曲線間の積分経路の変形が可能であり、

$${\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}d\zeta ={\oint }_{|\zeta |=R+1}{e}^{\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}d\zeta$$

積分変数を ${\zeta }^{\prime }$ に書き換えることで与式を得る。

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{\zeta }d\zeta (\zeta I-T{)}^{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}{e}^{{\zeta }^{\prime }}d{\zeta }^{\prime }({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\text{(証明終)}$$

(3)
積 $U^2$ を計算する際、(2)の等式を用いて一方の積分経路を $|{\zeta }^{\prime }|=R+1$ とする。

$$U^2=\left(\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}d\zeta \right)\left(\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}{e}^{{\zeta }^{\prime }}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}d{\zeta }^{\prime }\right)$$ $$=\frac{1}{(2\pi i{)}^2}{\oint }_{|\zeta |=R}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}{e}^{\zeta +{\zeta }^{\prime }}(\zeta I-T{)}^{-1}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}d{\zeta }^{\prime }d\zeta$$

(1)の等式を代入する。

$$\begin{array}{rl}{U}^2& =\frac{1}{(2\pi i{)}^2}{\oint }_{|\zeta |=R}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}\frac{e^{\zeta +{\zeta }^{\prime }}}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }\{(\zeta I-T{)}^{-1}-({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\}d{\zeta }^{\prime }d\zeta \\ & =I_1-I_2\end{array}$$

ここで $I_1$ と $I_2$ は以下の通り。

$$I_1=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}\left(\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}\frac{e^{{\zeta }^{\prime }}}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }d{\zeta }^{\prime }\right)d\zeta$$ $$I_2=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}{e}^{{\zeta }^{\prime }}({\zeta }^{\prime }I-T{)}^{-1}\left(\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}\frac{e^{\zeta }}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }d\zeta \right)d{\zeta }^{\prime }$$

$I_1$ の内側の積分について、$\zeta$ は $|\zeta |=R$ 上にあり、$|{\zeta }^{\prime }|=R+1$ の内部にあるため、コーシーの積分公式より、

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|{\zeta }^{\prime }|=R+1}\frac{e^{{\zeta }^{\prime }}}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }d{\zeta }^{\prime }=e^{\zeta }$$

ゆえに $I_1=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}{e}^{2\zeta }(\zeta I-T{)}^{-1}d\zeta =V$ となる。
$I_2$ の内側の積分について、${\zeta }^{\prime }$ は $|{\zeta }^{\prime }|=R+1$ 上にあり、$|\zeta |=R$ の外部にあるため、被積分関数は $|\zeta |\le R$ で正則。コーシーの積分定理より、

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=R}\frac{e^{\zeta }}{{\zeta }^{\prime }-\zeta }d\zeta =0$$

ゆえに $I_2=0$ となる。
以上より、$U^2=V-0=V$ である。

$$U^2=V\text{(証明終)}$$

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补充说明：
这道题展示了算子理论中非常核心的一个技巧，即利用复变函数中的留数定理和柯西积分公式来处理矩阵（或更一般的有界线性算子）的函数。第一问证明的式子叫做预解式恒等式，它表明不同参数下的预解矩阵之差可以分解为这两个矩阵的乘积，这在泛函分析中非常常见。第二问则是柯西积分定理在矩阵函数上的直接应用，只要积分回路包围了矩阵所有的特征值（即极点），回路如何形变都不会改变积分的值。第三问巧妙地通过使用两条半径不同的回路来计算算子指数的平方，这样在代入预解式恒等式将其拆分为两项后，恰好可以利用积分回路的内外位置关系，通过柯西积分公式让其中一项积出指数函数的平方，而通过柯西积分定理让另一项由于极点在回路外部而积分为零。这就是利用全纯泛函演算证明 $e^T\cdot e^T=e^{2T}$ 的标准过程。