0018-1999 东大工 数学 P16

流体力学 复变函数

複素数 $z=x+iy$ に対して定義される複素ポテンシャル $w(z)=\varphi +i\psi$ を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 複素ポテンシャル

$$w_1(z)=-\frac{\mu }{a}\log (z-i)$$

に関して $\mathrm{Re}(w)=\varphi =\text{一定}$，$\mathrm{Im}(w)=\psi =\text{一定}$ のそれぞれの曲線群を求め，複素平面上に図示せよ。ただし，$\mu ,a$ はともに正の実数である。
(2) 複素ポテンシャル

$$w_2(z)=\frac{\mu }{a}\log (z-a-i)$$

をさらに考え，以下の極限値を求めよ。

$$w_3(z)=\underset{a\to 0}{\lim }(w_1(z)+w_2(z))$$

(3) 複素ポテンシャルを流れのポテンシャルと考えると，$\psi =\text{一定}$ は流線を表し，$\varphi$ の勾配 $\nabla \varphi$ は流れの速度ベクトル $V$ と $\nabla \varphi =-V$ によって関係づけられる。いま，実軸($\mathrm{Im}(z)=0$)を壁とする $\mathrm{Im}(z)\ge 0$ の領域において，実軸に平行に流れる一様な流れ(複素ポテンシャルは $-z$)と，問(2)で考えた $w_3(z)$ によって作られる流れを重ね合わせる。この場合の複素ポテンシャルを求めよ。
(4) 問(3)で作られる流れにおいて，$\mu =1$ の場合，壁面(実軸)上の流速の最大値と最小値を求めよ。

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解答：
(1)
$z-i=r{e}^{i\theta }$ とおくと、$w_1(z)=-\frac{\mu }{a}(\log r+i\theta )$。

$$\begin{array}{rl}\varphi & =-\frac{\mu }{a}\log |z-i|=\text{const}\\ ⟹|z-i|& =\text{const}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\psi & =-\frac{\mu }{a}\arg (z-i)=\text{const}\\ ⟹\arg (z-i)& =\text{const}\end{array}$$ $$\boxed{\varphi =\text{一定}:z=i\text{ を中心とする同心円群}}$$ $$\boxed{\psi =\text{一定}:z=i\text{ を始点とする放射状半直線群}}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}{w}_3(z)& =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{\mu }{a}(\log (z-a-i)-\log (z-i))\\ & =-\mu \frac{d}{dz}\log (z-i)\end{array}$$ $$\boxed{w_3(z)=-\frac{\mu }{z-i}}$$

(3)
実軸 $\mathrm{Im}(z)=0$ を境界とするため、鏡像の原理を用いる。$w_3(z)$ の実軸に対する鏡像は $\overline{w_3(\bar{z})}=-\frac{\mu }{z+i}$ である。一様流 $-z$ と重ね合わせる。

$$\begin{array}{rl}w(z)& =-z+w_3(z)+\overline{w_3(\bar{z})}\\ & =-z-\frac{\mu }{z-i}-\frac{\mu }{z+i}\end{array}$$ $$\boxed{w(z)=-z-\frac{2\mu z}{z^2+1}}$$

(4)
$\nabla \varphi =-V$ より、速度ベクトル $V=u+iv$ とすると $\frac{dw}{dz}=-u+iv$。
壁面 $z=x$ 上で $v=0$。$\mu =1$ を代入する。

$$u(x)=-w^{\prime }(x)=1+2\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$$

導関数を求める。

$$u^{\prime }(x)=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}$$

$u^{\prime }(x)=0$ より $x=0,\pm \sqrt{3}$。

$$\begin{array}{rl}u(0)& =3u(\pm \sqrt{3})\\ & =1-\frac{1}{4}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

$x\to \pm \infty$ で $u\to 1$ であるため、これらが最大値および最小値となる。

$$\boxed{\text{最大値 }3,\text{ 最小値 }\frac{3}{4}}$$

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补充说明：
本题主要考察流体力学中理想流体无旋流动的复势理论与镜像法。第一问利用复对数函数的性质，实部对应模长的对数，即同心圆，虚部对应辐角，即射线。第二问的极限过程本质上是微商的定义，物理意义是两个符号相反的点源无限靠近，从而在复平面上形成偶极子。第三问引入镜像法来满足实轴的不可穿透壁面边界条件，只需在对称位置放置一个镜像偶极子，并将其与均匀流直接线性叠加即可得到总复势。第四问通过对复势求导得到速度场函数，在实轴壁面上流速只有水平分量，利用常规的一元函数求导寻找驻点，即可计算出流速的最大值和最小值。