0017-1999 东大工 数学 P15

微分积分 微积分 傅里叶分析 柯西施瓦茨不等式

フーリエ変換が可能な実関数 $f(t)$ について，そのフーリエ変換 $F(\omega )$ とそれぞれの標準偏差 ${\Delta }_t[f(t)]$, ${\Delta }_{\omega }[F(\omega )]$ を以下のように定義する。

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\exp (-i\omega t)dt$$ $$\begin{array}{rl}{\Delta }_t[f(t)]& =\sqrt{\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|tf(t){|}^{2}dt}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt}}{\Delta }_{\omega }[F(\omega )]\\ & =\sqrt{\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|\omega F(\omega ){|}^{2}d\omega }{{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega }}\end{array}$$

また，$g(t)=\exp (-\alpha t^2)$, $\alpha >0$ とする。
以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $g(t)$ に関する積分

$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)dt$$

を求めよ。
ただし，$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)dx{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)dy$ とおいて，$(x,y)$ を極座標系に変換することを利用せよ。

(2) 関数 $g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega )$ を，以下の方法で求めよ。
$g(t)$ に関して，

$$\frac{d}{d\omega }\left\{{\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)\exp (-i\omega t)dt\right\}={\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{\frac{d}{d\omega }g(t)\exp (-i\omega t)\right\}dt$$

が成立することを利用し，まず $G(\omega )$ に関する微分方程式を立てよ。次に，それを解き，積分定数の値を定めることによって，$G(\omega )$ を求めよ。

(3) 関数 $g(t)$ と $G(\omega )$ について，標準偏差の積 ${\Delta }_t[g(t)]\cdot {\Delta }_{\omega }[G(\omega )]$ を求めよ。

(4) フーリエ変換が可能な一般の実関数 $f(t)$ とそのフーリエ変換 $F(\omega )$ について，標準偏差の積 ${\Delta }_t[f(t)]\cdot {\Delta }_{\omega }[F(\omega )]$ の最小値が問(3)で求めた値と等しくなることを，コーシー・シュワルツの不等式を用いて示せ。必要ならば，フーリエ変換に関する次の性質を用いてよい。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{\frac{d}{dt}f(t)\right\}\exp (-i\omega t)dt=i\omega F(\omega )$$ $${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega$$

---

解答：
(1)

$$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-\alpha x^2)dx{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-\alpha y^2)dy\\ & ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\exp (-\alpha (x^2+y^2))dxdy\end{array}$$

極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta$ を用いる。

$$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }\exp (-\alpha r^2)rdr\\ & =2\pi {\left[-\frac{1}{2\alpha }\exp (-\alpha r^2)\right]}_0^{\infty }\\ & =\frac{\pi }{\alpha }\end{array}$$

$g(t)>0$ より $I>0$ であるから、

$$\boxed{I=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}}$$

(2)

$$\frac{dG}{d\omega }={\int }_{-\infty }^{\infty }(-it)\exp (-\alpha t^2)\exp (-i\omega t)dt$$

$(-2\alpha t)\exp (-\alpha t^2)=\frac{d}{dt}\exp (-\alpha t^2)$ より、

$$\frac{dG}{d\omega }=\frac{i}{2\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(\frac{d}{dt}g(t)\right)\exp (-i\omega t)dt$$

部分積分法により、

$$\frac{dG}{d\omega }=\frac{i}{2\alpha }{\left[g(t)\exp (-i\omega t)\right]}_{-\infty }^{\infty }-\frac{i}{2\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)(-i\omega )\exp (-i\omega t)dt$$

$t\to \pm \infty$ で $g(t)\to 0$ より境界項は消えるため、
微分方程式：$\frac{dG}{d\omega }=-\frac{\omega }{2\alpha }G(\omega )$
変数分離して積分すると、

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dG}{G}& =\int -\frac{\omega }{2\alpha }d\omega \\ ⟹\ln G& =-\frac{{\omega }^2}{4\alpha }+C\\ ⟹G(\omega )& =C^{\prime }\exp \left(-\frac{{\omega }^2}{4\alpha }\right)\end{array}$$

$G(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)dt=I=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$ より、$C^{\prime }=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$。

$$\boxed{G(\omega )=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\exp \left(-\frac{{\omega }^2}{4\alpha }\right)}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|g(t){|}^{2}dt& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\exp (-2\alpha t^2)dt\\ & =\sqrt{\frac{\pi }{2\alpha }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|tg(t){|}^{2}dt& ={\int }_{-\infty }^{\infty }t\cdot t\exp (-2\alpha t^2)dt\\ & ={\left[t\frac{-\exp (-2\alpha t^2)}{4\alpha }\right]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{-\exp (-2\alpha t^2)}{4\alpha }dt\\ & =\frac{1}{4\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{2\alpha }}\end{array}$$

よって、${\Delta }_t[g(t)]=\sqrt{\frac{1}{4\alpha }}=\frac{1}{2\sqrt{\alpha }}$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|G(\omega ){|}^{2}d\omega & =\frac{\pi }{\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{{\omega }^2}{2\alpha }\right)d\omega \\ & =\frac{\pi }{\alpha }\sqrt{2\pi \alpha }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|\omega G(\omega ){|}^{2}d\omega & =\frac{\pi }{\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\omega }^2\exp \left(-\frac{{\omega }^2}{2\alpha }\right)d\omega \\ & =\frac{\pi }{\alpha }\left(\frac{1}{2\cdot (1/(4\alpha ))}\sqrt{2\pi \alpha }\right)\\ & =\pi \sqrt{2\pi \alpha }\end{array}$$

よって、${\Delta }_{\omega }[G(\omega )]=\sqrt{\alpha }$

$$\boxed{{\Delta }_t[g(t)]\cdot {\Delta }_{\omega }[G(\omega )]=\frac{1}{2}}$$

(4)
パーセバルの等式より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|\omega F(\omega ){|}^{2}d\omega & ={\int }_{-\infty }^{\infty }|i\omega F(\omega ){|}^{2}d\omega \\ & =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt\end{array}$$ $${\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$

ゆえに、${\Delta }_{\omega }[F(\omega ){]}^2=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt}$ である。
これを用いて積の二乗を計算する。

$${\Delta }_t[f(t){]}^2{\Delta }_{\omega }[F(\omega ){]}^2=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|tf(t){|}^{2}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt}{{\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt\right)}^2}$$

分子に対してコーシー・シュワルツの不等式を適用する。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|tf(t){|}^{2}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt\ge {\left({\int }_{-\infty }^{\infty }tf(t)f^{\prime }(t)dt\right)}^2$$

右辺の積分を部分積分する。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }tf(t)f^{\prime }(t)dt& ={\int }_{-\infty }^{\infty }t{\left(\frac{1}{2}f(t{)}^2\right)}^{\prime }dt\\ & ={\left[\frac{1}{2}tf(t{)}^2\right]}_{-\infty }^{\infty }-\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t{)}^{2}dt\end{array}$$

関数 $f(t)$ はフーリエ変換可能であるため $\underset{t\to \pm \infty }{\lim }tf(t{)}^2=0$ となる。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }tf(t)f^{\prime }(t)dt=-\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t{)}^{2}dt$$

これを代入すると、

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_t[f(t){]}^2{\Delta }_{\omega }[F(\omega ){]}^2& \ge \frac{{\left(-\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t{)}^{2}dt\right)}^2}{{\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt\right)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$

${\Delta }_t,{\Delta }_{\omega }>0$ より、${\Delta }_t[f(t)]\cdot {\Delta }_{\omega }[F(\omega )]\ge \frac{1}{2}$
したがって、最小値は問(3)で求めた値 $\frac{1}{2}$ と等しくなることが示された。(証明終)

---

补充说明：
这道题推导的是物理学和信号处理中非常著名的一个结论——海森堡不确定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）在数学上的表达。通过定义时域和频域的标准差，反映了信号在时间和频率上的发散程度。
第一问和第二问是标准的高斯积分和傅里叶变换的计算。高斯函数的傅里叶变换依然是高斯函数，求解过程中利用了参数微分法与分部积分构造常微分方程的方法，避免了繁杂的配方复积分。
第三问则是直接计算高斯函数在时域和频域方差的乘积，得到常数 $1/2$。
第四问是整个推导的核心证明，巧妙地应用了傅里叶变换的导数性质和帕塞瓦尔定理将频域的积分转化到时域，最后结合柯西施瓦茨不等式得出时频标准差乘积永远大于等于 $1/2$ 的结论。这也印证了第三问的高斯函数恰好是不确定性原理的等号成立条件（即最小不确定波包）。