0016-1999 东大工 数学 P14

微分积分 空间解析几何 微积分 向量代数

3次元空間中の点列 $P_k$ と $Q_k$ を以下のように定める。ただし、$n$ は 3 以上の整数、$k$ は 0 以上 $n$ 以下の整数、$O$ は原点とする。

$$P_k:\left(\frac{k}{n},1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2,1\right)$$ $$Q_k:\left(\frac{k}{n},1-\frac{k}{n},0\right)$$

また、頂点が $OABC$ である四面体の符号付きの体積を $V(ABC)$ と書き、符号は、三角形 $ABC$ を $A\to B\to C$ とたどる向きが原点 $O$ から見て時計回りであるときに正、それ以外のときは負と定める。

$$\begin{array}{rl}{G}_k& =V(P_k{P}_{k+1}{Q}_k)(k\\ & =0,1,\cdots ,n-1)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_k& =V(P_{k+1}{Q}_{k+1}{Q}_k)(k\\ & =0,1,\cdots ,n-1)\end{array}$$ $$V_n=\sum _{k=0}^{n-1}(G_k+H_k)$$

とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) $G_k$ と $H_k$ を求め、$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$ を計算せよ。
(2) $V_n$ の値を変化させないで $P_1$ と $P_2$ を同一の点 $R:(x,y,z)$ に移動する操作を考える。このとき、$R$ はどのような図形上に存在するか。
(3) $n=3$ のとき、上記(2)の操作によって $P_1$ と $P_2$ が移動する距離 $\overline{P_{1}R}$ と $\overline{P_{2}R}$ の二乗和 ${\overline{P_{1}R}}^2+{\overline{P_{2}R}}^2$ が最小になるような $R$ の座標を求めよ。

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解答：
(1)
与えられた符号の定義と各点の座標の配置より、$V(ABC)=\frac{1}{6}\det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ となる。

$$\begin{array}{rl}{G}_k& =\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccccccc}\frac{k}{n}& 1-\frac{k^2}{n^2}& 1\frac{k+1}{n}& 1-\frac{(k+1{)}^2}{n^2}& 1\frac{k}{n}& 1-\frac{k}{n}& 0\end{array}\right|\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{k+1}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)-\frac{k}{n}\left(1-\frac{(k+1{)}^2}{n^2}\right)-\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)+\frac{k}{n}\left(1-\frac{k^2}{n^2}\right)\right)\end{array}$$

整理すると、

$$\boxed{G_k=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{n}-\frac{k}{n^2}+\frac{2k^2+k}{n^3}\right)}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_k& =\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccccccc}\frac{k+1}{n}& 1-\frac{(k+1{)}^2}{n^2}& 1\frac{k+1}{n}& 1-\frac{k+1}{n}& 0\frac{k}{n}& 1-\frac{k}{n}& 0\end{array}\right|\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{k+1}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)-\frac{k}{n}\left(1-\frac{k+1}{n}\right)\right)\end{array}$$

整理すると、

$$\boxed{H_k=\frac{1}{6n}}$$ $$\begin{array}{rl}{V}_n& =\sum _{k=0}^{n-1}(G_k+H_k)\\ & =\frac{1}{6}\sum _{k=0}^{n-1}\left(\frac{2}{n}-\frac{k}{n^2}+\frac{2k^2+k}{n^3}\right)\\ & =\frac{1}{6}\sum _{k=0}^{n-1}\left(2-\frac{k}{n}+2{\left(\frac{k}{n}\right)}^2+\frac{k/n}{n}\right)\frac{1}{n}\end{array}$$

区分求積法より、

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=\frac{1}{6}{\int }_0^1(2-x+2x^2)dx=\frac{1}{6}{\left[2x-\frac{x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{13}{36}}$$

(2)
$V_n$ のうち $P_1,P_2$ に依存する項の和を $V_{sub}$ とおくと、

$$V_{sub}=G_0+H_0+G_1+H_1+G_2$$

$P_1,P_2$ を $R$ に置き換えた後の体積の和を $V_{new}$ とすると、$\Delta V=V_{new}-V_{sub}=0$ が条件である。

$$V_{new}=V(P_{0}R{Q}_0)+V(R{Q}_1{Q}_0)+V(RR{Q}_1)+V(R{Q}_2{Q}_1)+V(R{P}_3{Q}_2)$$

$V(RR{Q}_1)=0$ であり、行列式の線形性から $V_{new}$ は $R(x,y,z)$ の一次式 $\frac{1}{6}\vec{N}\cdot \vec{R}$ として表せる。
ここで $\vec{N}=\overrightarrow{Q_0}\times \overrightarrow{P_0}+\overrightarrow{Q_1}\times \overrightarrow{Q_0}+\overrightarrow{Q_2}\times \overrightarrow{Q_1}+\overrightarrow{P_3}\times \overrightarrow{Q_2}$。
$\frac{1}{6}\vec{N}\cdot \vec{R}=V_{sub}$ は $x,y,z$ の一次方程式となるため、$R$ は平面上に存在する。
（具体的には $2n^{2}x+2n^{2}y+3(n^2-2n+6)z=5n^2-3n+13$ を満たす平面である。）

$$\boxed{\text{平面}}$$

(3)
${\overline{P_{1}R}}^2+{\overline{P_{2}R}}^2$ を最小化する点 $R$ は、$P_1,P_2$ の中点 $M$ から (2)の平面へ下ろした垂線の足である。
$n=3$ のとき、平面の方程式は $2x+2y+3z=\frac{49}{9}$ となる。
$P_1=\left(\frac{1}{3},\frac{8}{9},1\right),P_2=\left(\frac{2}{3},\frac{5}{9},1\right)$ より、中点 $M=\left(\frac{1}{2},\frac{13}{18},1\right)$。
$M$ の座標を平面の方程式に代入すると $2\left(\frac{1}{2}\right)+2\left(\frac{13}{18}\right)+3(1)=\frac{49}{9}$ となり、$M$ 自身がこの平面上に存在する。
したがって、距離の二乗和が最小となる $R$ は $M$ に一致する。

$$\boxed{R\left(\frac{1}{2},\frac{13}{18},1\right)}$$

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补充说明：
题干规定从原点看去 $A\to B\to C$ 呈顺时针时体积为正。结合给定的坐标代入标准的三阶行列式计算混合积 $(\vec{A}\times \vec{B})\cdot \vec{C}$，可以验证该空间点阵排列在行列式下计算结果即为正值，因此直接利用行列式定义计算 $G_k$ 和 $H_k$ 即可，无需额外添加负号。
在第(1)问求极限时，将级数凑成 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ 的形式。其中 $\frac{k}{n^3}$ 等项在 $n\to \infty$ 时作为高阶小量衰减为零，因此不影响最终定积分的值。
第(2)问将四个行列式中的点替换为未知的点 $R(x,y,z)$。由于行列式关于其列向量（或行向量）具有线性性质，提出 $R$ 之后，其余向量的叉积之和构成了一个常向量法向量 $\vec{N}$，因此轨迹为 $\vec{N}\cdot R=\text{常数}$，这是标准的空间平面方程。
空间中到定点 $P_1,P_2$ 距离平方和最小的约束点一定是线段 $P_1{P}_2$ 中点 $M$ 在约束图形上的投影。第(3)问通过计算发现，中点 $M$ 恰巧完美满足了不改变总体积的平面方程，所以投影点即为 $M$ 本身，大大简化了运算。