0015-1999 东大工 数学 P13

偏微分方程 概率论

分布関数 $x_n(t)(n=0,1,2,\cdots )$ は，時間 $t$ の関数であり，かつ

$$x_n(t)\ge 0$$ $$\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n(t)=1$$

を満たしている。
$x_n(t)$ の母関数 $G(z,t)$ を

$$G(z,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n{x}_n(t)$$

で定義すると，関数 $G(z,t)$ は，偏微分方程式

$$e^{\theta }\frac{\partial G}{\partial t}=(z-1)\left[(z-e^{\theta })\frac{\partial G}{\partial z}+G\right]$$

を満たすとする。ただし，$\theta >0$ である。
以下の問いに答えよ。
(1) $G(z,t)$ の一般解を求めよ。一般解は，特性曲線法により特性方程式を解き，一つの任意の関数を含む解として得られる。
(2) $t\to \infty$ における $x_n(t)$ を求めよ。

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解答：
(1)
与えられた偏微分方程式より

$$e^{\theta }\frac{\partial G}{\partial t}-(z-1)(z-e^{\theta })\frac{\partial G}{\partial z}=(z-1)G$$

特性方程式は

$$\begin{array}{rl}\frac{dt}{e^{\theta }}& =\frac{dz}{-(z-1)(z-e^{\theta })}\\ & =\frac{dG}{(z-1)G}\end{array}$$

第2式と第3式より

$$\begin{array}{rl}\frac{dz}{-(z-e^{\theta })}& =\frac{dG}{G}\\ ⟹d(\ln G)& =-\frac{dz}{z-e^{\theta }}\end{array}$$

積分し

$$G(z-e^{\theta })=C_1$$

第1式と第2式より

$$\begin{array}{rl}dt& =\frac{e^{\theta }dz}{-(z-1)(z-e^{\theta })}\\ & =\frac{e^{\theta }}{e^{\theta }-1}\left(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-e^{\theta }}\right)dz\end{array}$$

積分し

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{e^{\theta }}{e^{\theta }-1}\ln \left|\frac{z-1}{z-e^{\theta }}\right|+C_2\\ ⟹C_2^{\prime }& =\frac{z-1}{z-e^{\theta }}\exp \left(-\frac{e^{\theta }-1}{e^{\theta }}t\right)\end{array}$$

任意の関数を $f$ とし、$C_1=f(C_2^{\prime })$ とおくと一般解は

$$\boxed{G(z,t)=\frac{1}{z-e^{\theta }}f\left(\frac{z-1}{z-e^{\theta }}{e}^{-(1-e^{-\theta })t}\right)}$$

(2)
条件 $\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n(t)=1$ より、$G(1,t)=1$ が常に成り立つ。
$z=1$ を代入し

$$\begin{array}{rl}G(1,t)& =\frac{1}{1-e^{\theta }}f(0)=1\\ ⟹f(0)& =1-e^{\theta }\end{array}$$

$\theta >0$ より $1-e^{-\theta }>0$。$t\to \infty$ のとき $e^{-(1-e^{-\theta })t}\to 0$ となるため

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }G(z,t)& =\frac{1}{z-e^{\theta }}f(0)\\ & =\frac{1-e^{\theta }}{z-e^{\theta }}\\ & =\frac{e^{\theta }-1}{e^{\theta }-z}\end{array}$$

これをマクローリン展開すると

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }G(z,t)& =\frac{1-e^{-\theta }}{1-z{e}^{-\theta }}\\ & =(1-e^{-\theta })\sum _{n=0}^{\infty }(z{e}^{-\theta }{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(1-e^{-\theta })e^{-n\theta }{z}^n\end{array}$$

定義 $G(z,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n{x}_n(t)$ と係数を比較し

$$\boxed{\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_n(t)=(1-e^{-\theta })e^{-n\theta }}$$

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补充说明：
本题考查了一阶线性偏微分方程的特征线法（Method of Characteristics）以及概率母函数（Probability Generating Function）的性质。
在第(1)问中，通过构造特征方程组分别求出两个首次积分（即常数 $C_1,C_2$ 对应的表达式），进而用一个任意函数表示出偏微分方程的通解。求解过程中的分式拆项积分是常用的微分方程求解技巧。
在第(2)问中，利用了概率分布必然满足的归一性条件代入 $z=1$ 恒有 $G(1,t)=1$，以此确定任意函数 $f$ 在自变量为 $0$ 处的取值。随着时间 $t$ 趋向于无穷大，通解内部的指数衰减项趋于零，使得母函数收敛到一个稳态表达式。最后，将稳态母函数展开为几何级数（等比级数），其对应 $z^n$ 项的系数即为所求的极限稳态概率分布。