0014-1998 东大工 机械 P12

振动学 机械工学 机械振动 防振工学
機械の発生する振動を、その機械が据え付けられている床に伝わりわにくくするように、支持部にゴムのような高弾性体を用いることが多い。これを防振支持という。この防振の機構について以下の問に答えよ。

(1) 簡単のため、機械を質点(質量を$M$とする)、防振ゴムをばね(ばね定数を$k$とする)とダンパ(速度比例粘性減衰係数を$c$とする)の並列型と考え、1自由度の振動系として扱い、この質点に加振力$F=F_0\cos 2\pi ft$ ($f$は周波数)が作用するものと考える。(図1-1)
(a) 質点の運動を運動方程式で表し、床への伝達力$F_t$を求めよ。
(b) 加振力と伝達力の振幅比を周波数の関数として表し、概形図を図示せよ。(cの大小による変化を示すこと)
(c) (b)の図を用いて、防振の有効性を説明せよ。(周波数範囲を示して説明すること)

(2) 1段の防振構造では不十分の場合に、防振ゴムを二個用い、その間に中間質量をはさむ2段防振構造とすることがある。(図1-2) 簡単のため防振ゴム二個は同一のものとし、ダンパの減衰係数は極めて小さいとして、この2段防振構造を考える。
(a) 中間質量を質量$m$の質点とし、機械と中間質量の運動を運動方程式で表せ。
(b) 床への伝達力を求めよ。
(c) $c=0$ とすることにより、共振の周波数は容易に求められる。この周波数を求めよ。また、それは$m/M$によってどう変化するか説明せよ。
(d) 機械への加振力と床への伝達力の振幅比を周波数の関数として表し、その概形図を図示せよ。(cの大小による変化を示すこと)
(e) 2段防振の効用を説明せよ。

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解答：

(1) (a)
質点の変位を $x(t)$ とおく。
運動方程式：

$$\boxed{M\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos (2\pi ft)}$$

床への伝達力 $F_t(t)$：

$$\boxed{F_t(t)=c\dot{x}+kx}$$

（※定常状態の振幅 $F_{t0}$ は、複素数表示より $F_{t0}=F_0\sqrt{\frac{k^2+(2\pi fc{)}^2}{(k-M(2\pi f{)}^2{)}^2+(2\pi fc{)}^2}}$）

(1) (b)
角振動数を $\omega =2\pi f$ とし、伝達率(振幅比)を $T_r=\frac{F_{t0}}{F_0}$ とする。

$$\boxed{T_r(f)=\sqrt{\frac{k^2+(2\pi fc{)}^2}{(k-M(2\pi f{)}^2{)}^2+(2\pi fc{)}^2}}}$$

[概形特徴]
・$f=0$ で $T_r=1$。
・$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{M}}$ 付近で共振（極大）。$c$が小さいほどピークは高い。
・$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{2k}{M}}$ で全曲線が $T_r=1$ で交差。
・$f>\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{2k}{M}}$ では $T_r<1$ となり、$f\to \infty$ で $T_r\to 0$。$c$が小さいほど高周波での減衰が速い。

(1) (c)

$$\boxed{f>\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{2k}{M}}\text{の周波数範囲において、}{T}_r<1\text{ となり防振が有効となる。}}$$

(2) (a)
機械の変位を $x_1$、中間質量の変位を $x_2$ とおく。

$$\boxed{\{\begin{array}{l}M{\ddot{x}}_1+c({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2)+k(x_1-x_2)=F_0\cos (2\pi ft)\\ m{\ddot{x}}_2+c{\dot{x}}_2+k{x}_2-c({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2)-k(x_1-x_2)=0\end{array}}$$

(2) (b)

$$\boxed{F_t(t)=c{\dot{x}}_2+k{x}_2}$$

(2) (c)
$c=0$ とし、$x_1=X_1\cos \omega t$、$x_2=X_2\cos \omega t$ とおいて代入すると、

$$(k-M{\omega }^2)X_1-k{X}_2=F_0$$ $$-k{X}_1+(2k-m{\omega }^2)X_2=0$$

自由振動の特性方程式（行列式 $=0$）より：

$$\begin{array}{rl}(k-M{\omega }^2)(2k-m{\omega }^2)-k^2& =0\\ ⟹Mm{\omega }^4-k(2M+m){\omega }^2+k^2& =0\end{array}$$

これを解き、$f=\frac{\omega }{2\pi }$ より共振周波数 $f_{1,2}$ を得る。

$$\boxed{f_{1,2}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k(2M+m)\mp k\sqrt{4M^2+m^2}}{2Mm}}}$$

$\mu =m/M$ とおくと、${\omega }^2=\frac{k}{2m}(2+\mu \mp \sqrt{4+{\mu }^2})$ となる。

$$\boxed{\frac{m}{M}\text{ が増加すると、2つの共振周波数はともに低下する。}}$$

(2) (d)
伝達率 $T_r=\left|\frac{X_2}{X_1}\right|\cdot \text{（ばね成分）}$ などを経て得られる。
[概形特徴]
・$f=0$ で $T_r=1$。
・$f=f_1,f_2$ の2箇所で共振ピークをもつ。（$c$が小さいほどピーク大）
・高周波領域 ($f\to \infty$) において、$T_r$ は漸近的に $1/f^4$ に比例して急激に減衰する。

(2) (e)

$$\boxed{\text{高周波領域において、伝達率が}1/f^4\text{に比例して減少するため、}}$$ $$\boxed{1\text{段防振}(1/f^2\text{に比例})\text{よりもはるかに高い防振効果が得られる。}}$$

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补充说明：

本题考察的是经典的机械振动学中的隔振理论（Vibration Isolation）。

1. 单自由度隔振（1段防振）：
   • 在推导传递率 $T_r$ 时，将稳态响应代入动力学方程。关键的结论是：无论阻尼大小，所有传递率曲线都会交于频率比 $\lambda =\sqrt{2}$ 处（即激励频率等于系统固有频率的 $\sqrt{2}$ 倍）。
   • 只有当加振频率 $f>\sqrt{2}{f}_n$ 时，传递到地面的力才会小于加振力（即 $T_r<1$），此时隔振才起作用。
   • 需要注意的是，在该隔振区域内，阻尼 $c$ 越小，隔振效果反而越好（传递率越低）。但为了抑制启动或停机时经过共振点产生的剧烈振动，必须保留一定的阻尼。
2. 双自由度隔振（2段防振）：
   • 为了在不增加太多柔性的情况下进一步提升高频隔振性能，采用了加入中间质量 $m$ 的二级隔振系统。
   • 此时系统变为两个自由度，因此会出现两个共振频率。求解过程转化为求解 $2\times 2$ 刚度-质量矩阵的特征值问题，即令行列式为零。
   • 其最大的优势在于高频衰减率（Roll-off rate）：单级隔振系统在高频下的传递率正比于 $1/f^2$ （即衰减斜率为 -40 dB/dec）；而双级隔振系统由于有两个质量块的惯性力滤波，高频传递率正比于 $1/f^4$ （即衰减斜率为 -80 dB/dec），这使得它对于高频噪声和微小振动的隔离效果远超单级系统。因此常被用于电子显微镜、精密光学平台等高精尖设备的被动减振平台。