0013-1998 东大工 数学 P10

向量分析 高等数学 微分几何 曲线积分 自然方程

以下の問いに答えよ。
(1) 曲線$C$は以下の式で表される。

$$\{\begin{array}{l}x(u)=e^{-u}\cos u\\ y(u)=e^{-u}\sin u\end{array}\text{ただし}u\ge 0$$

(a) $0\le u\le t$に対応する曲線$C$の長さ$s$を$t$の関数として表せ。
(b) 曲線$C$の傾き角$\theta (s)$，曲率$\kappa (s)$を求めよ(図6.1参照)。また，$\kappa$を$\theta$の関数として表せ。
(2) $\kappa =\sqrt{2\theta }$となる曲線を表す式$(x(s),y(s))$を求めよ。ただし，$s=0$で$x=0,y=0,\theta =0$とする。

---

解答：

(1)(a)
$x,y$を$u$で微分する。

$$x^{\prime }(u)=-e^{-u}(\cos u+\sin u)$$ $$y^{\prime }(u)=e^{-u}(\cos u-\sin u)$$

弧長$s$の微分$ds$は、

$$\begin{array}{rl}\frac{ds}{du}& =\sqrt{x^{\prime }(u{)}^2+y^{\prime }(u{)}^2}\\ & =\sqrt{e^{-2u}(2{\cos }^{2}u+2{\sin }^{2}u)}\\ & =\sqrt{2}{e}^{-u}\end{array}$$

区間$0\le u\le t$における弧長$s(t)$は、

$$\begin{array}{rl}s(t)& ={\int }_0^t\sqrt{2}{e}^{-u}du\\ & ={\left[-\sqrt{2}{e}^{-u}\right]}_0^t\\ & =\sqrt{2}(1-e^{-t})\end{array}$$ $$\boxed{s(t)=\sqrt{2}(1-e^{-t})}$$

(1)(b)
傾き角$\theta$について、$\frac{dx}{ds}=\cos \theta ,\frac{dy}{ds}=\sin \theta$が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\frac{x^{\prime }(u)}{ds/du}\\ & =\frac{-e^{-u}(\cos u+\sin u)}{\sqrt{2}{e}^{-u}}\\ & =-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos u-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin u\\ & =\cos \left(u+\frac{3\pi }{4}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\sin \theta & =\frac{y^{\prime }(u)}{ds/du}\\ & =\frac{e^{-u}(\cos u-\sin u)}{\sqrt{2}{e}^{-u}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\cos u-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin u\\ & =\sin \left(u+\frac{3\pi }{4}\right)\end{array}$$

よって、$\theta (u)=u+\frac{3\pi }{4}$ である。(a)の結果$s=\sqrt{2}(1-e^{-u})$より、$e^{-u}=1-\frac{s}{\sqrt{2}}$となるため、$u=-\ln \left(1-\frac{s}{\sqrt{2}}\right)$。

$$\boxed{\theta (s)=-\ln \left(1-\frac{s}{\sqrt{2}}\right)+\frac{3\pi }{4}}$$

曲率$\kappa$は$\kappa =\frac{d\theta }{ds}$で定義される。

$$\begin{array}{rl}\kappa (s)& =\frac{d\theta /du}{ds/du}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}{e}^{-u}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}(1-s/\sqrt{2})}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}-s}\end{array}$$ $$\boxed{\kappa (s)=\frac{1}{\sqrt{2}-s}}$$

また、$u=\theta -\frac{3\pi }{4}$を$\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^u$に代入し、

$$\boxed{\kappa (\theta )=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{\theta -\frac{3\pi }{4}}}$$

(2)
$\kappa =\frac{d\theta }{ds}=\sqrt{2\theta }$ より、変数分離して積分する。

$$\int \frac{d\theta }{\sqrt{\theta }}=\int \sqrt{2}ds$$ $$2\sqrt{\theta }=\sqrt{2}s+C$$

初期条件$s=0$で$\theta =0$より$C=0$。よって $\sqrt{\theta }=\frac{s}{\sqrt{2}}$ すなわち $\theta (s)=\frac{1}{2}{s}^2$。
座標$(x(s),y(s))$は$dx=\cos \theta ds,dy=\sin \theta ds$より積分で求められる。初期条件$x(0)=y(0)=0$より、

$$\boxed{x(s)={\int }_0^s\cos \left(\frac{t^2}{2}\right)dt,y(s)={\int }_0^s\sin \left(\frac{t^2}{2}\right)dt}$$

---

这是一道经典的微分几何与微积分综合题，主要考察了参数曲线的弧长计算、曲率与切线角的内在关系（即自然方程）。

第一问中，通过对给定对数螺线的参数形式求导，可以轻易得出弧长微元与参数的几何关系。接着利用微分几何基本关系式得出切线角。这里的切线角可以直接由切向量归一化得到。曲率通常可以通过普通参数坐标下的曲率公式进行繁杂计算，但利用微分几何中的定义 $\kappa =\frac{d\theta }{ds}$ 结合链式法则，能极其自然且简便地串联起后续的代数表达，直接化简得到曲率与弧长、曲率与切线角的函数关系。

第二问是第一问逻辑的逆向应用，题目给出的是曲率与切线角的无理方程 $\kappa =\sqrt{2\theta }$。同样根据定义式 $\frac{d\theta }{ds}=\kappa$ 可构造一阶可分离变量微分方程，解出 $\theta$ 是弧长 $s$ 的二次函数。将切线角代入坐标微分公式 $dx=\cos \theta ds$ 与 $dy=\sin \theta ds$ 后，直接求积分便能得到解析形式。由于正余弦内部是二次项，其积分没有初等函数闭式解，因此保留为积分上限函数的形式即可，这种形式在数学上被称为菲涅耳积分（Fresnel integral）。由这种积分所描述的曲线，其曲率恰好与弧长成正比，在工程上被称为回旋曲线（Clothoid）或欧拉螺旋，被极为广泛地应用于公路和铁路缓和曲线的轨迹设计中。