0011-1998 东大工 数学 P9

微分积分 电磁学 矢量分析 狄拉克磁单极子
3次元極座標 $(x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )$ において，
$r,\theta ,\varphi$ 方向の単位ベクトルを ${\vec{e}}_r,{\vec{e}}_{\theta },{\vec{e}}_{\varphi }$ としたとき，以下の公式が成り立つ。

$$\mathrm{grad}\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial r}{\vec{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }{\vec{e}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \Phi }{\partial \varphi }{\vec{e}}_{\varphi }$$ $$\mathrm{div}\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (A_r{r}^2)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }$$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{rot}\vec{A}& =\frac{1}{r\sin \theta }\left\{\frac{\partial (A_{\varphi }\sin \theta )}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }\right\}{\vec{e}}_r\\ & +\frac{1}{r}\left\{\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }-\frac{\partial (A_{\varphi }r)}{\partial r}\right\}{\vec{e}}_{\theta }\\ & +\frac{1}{r}\left\{\frac{\partial (A_{\theta }r)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right\}{\vec{e}}_{\varphi }\end{array}$$

ただし $\vec{A}=A_r{\vec{e}}_r+A_{\theta }{\vec{e}}_{\theta }+A_{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }$ とする。

(1) $\vec{A}=g\frac{1-\cos \theta }{r\sin \theta }{\vec{e}}_{\varphi },(\theta \ne \pi )$, 及び, ${\vec{A}}^{\prime }=g\frac{-1-\cos \theta }{r\sin \theta }{\vec{e}}_{\varphi },(\theta \ne 0)$,
について $\vec{B}=\mathrm{rot}\vec{A}$ 及び ${\vec{B}}^{\prime }=\mathrm{rot}{\vec{A}}^{\prime }$ を求めよ。また，$\vec{B}-{\vec{B}}^{\prime }$ を求めよ。
(2) $\vec{A}-{\vec{A}}^{\prime }=\mathrm{grad}\Phi$ を満たす $\Phi (r,\theta ,\varphi )$ が存在すればそれを求め，存在しない場合は理由を述べよ。
(3) 原点を中心とする半径 $R$ の球面 $S_R$ について面積分 ${\int }_{S_R}d\vec{S}\cdot \vec{B}$ を求めよ。ただし $S_R$ の向きは原点から外に面をよぎる方向を正とする。
(4) $\mathrm{div}\vec{B}=0,(r\ne 0)$ をまず示し，次に $\mathrm{div}\vec{B}=4\pi g\delta (\vec{r})$ を示せ。ここで $\delta (\vec{r})$ は3次元デルタ関数である。

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解答：

(1)
与えられた $\mathrm{rot}$ の公式を用いる。$A_r=A_{\theta }=0$、$A_{\varphi }=g\frac{1-\cos \theta }{r\sin \theta }$ より、

$$\begin{array}{rl}\vec{B}& =\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(g\frac{1-\cos \theta }{r}\right){\vec{e}}_r-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(g\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\right){\vec{e}}_{\theta }\\ & =\frac{g\sin \theta }{r^2\sin \theta }{\vec{e}}_r-0{\vec{e}}_{\theta }\\ & =\frac{g}{r^2}{\vec{e}}_r\end{array}$$

同様に $A_r^{\prime }=A_{\theta }^{\prime }=0$、$A_{\varphi }^{\prime }=g\frac{-1-\cos \theta }{r\sin \theta }$ より、

$$\begin{array}{rl}{\vec{B}}^{\prime }& =\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(g\frac{-1-\cos \theta }{r}\right){\vec{e}}_r-0{\vec{e}}_{\theta }\\ & =\frac{g\sin \theta }{r^2\sin \theta }{\vec{e}}_r\\ & =\frac{g}{r^2}{\vec{e}}_r\end{array}$$

よって、差は $\vec{0}$ となる。

$$\boxed{\vec{B}=\frac{g}{r^2}{\vec{e}}_r,{\vec{B}}^{\prime }=\frac{g}{r^2}{\vec{e}}_r,\vec{B}-{\vec{B}}^{\prime }=\vec{0}}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\vec{A}-{\vec{A}}^{\prime }& =\left(g\frac{1-\cos \theta }{r\sin \theta }-g\frac{-1-\cos \theta }{r\sin \theta }\right){\vec{e}}_{\varphi }\\ & =\frac{2g}{r\sin \theta }{\vec{e}}_{\varphi }\end{array}$$

これが $\mathrm{grad}\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial r}{\vec{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }{\vec{e}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \Phi }{\partial \varphi }{\vec{e}}_{\varphi }$ と等しいため、

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \Phi }{\partial r}& =0\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }\\ & =0\frac{\partial \Phi }{\partial \varphi }\\ & =2g\end{array}$$

積分して $\Phi =2g\varphi +C$ を得る。（※ただし物理的な一価関数としての条件を課す場合は大域的には存在しない）

$$\boxed{\Phi =2g\varphi +C(C\text{は積分定数})}$$

(3)
球面上での微小面積ベクトルは $d\vec{S}={\vec{e}}_r{R}^2\sin \theta d\theta d\varphi$ である。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{S_R}d\vec{S}\cdot \vec{B}& ={\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi }d\theta (R^2\sin \theta )\left(\frac{g}{R^2}\right)\\ & =g{\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta \\ & =g\cdot 2\pi \cdot 2\\ & =4\pi g\end{array}$$ $$\boxed{{\int }_{S_R}d\vec{S}\cdot \vec{B}=4\pi g}$$

(4)
$r\ne 0$ のとき、与えられた $\mathrm{div}$ の公式より、

$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}\vec{B}& =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{g}{r^2}\cdot r^2\right)\\ & =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(g)\\ & =0\end{array}$$

原点を含む任意の領域 $V$（境界面を $S$ とする）に対して、ガウスの発散定理を適用すると、

$${\int }_V\mathrm{div}\vec{B}dV={\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$$

(3)の結果より、この積分値は閉曲面の取り方によらず常に $4\pi g$ となる。$r\ne 0$ で $\mathrm{div}\vec{B}=0$ でありながら空間全体での積分が有限値 $4\pi g$ を持つ性質はデルタ関数の定義そのものであり、$\mathrm{div}\vec{B}=4\pi g\delta (\vec{r})$ が示された。
(証明終)

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补充说明：

本题是电磁学中非常经典的狄拉克磁单极子（Dirac Monopole）模型的纯数学推导。在真实的电磁学中，磁场 $\vec{B}$ 总是无源的（$\mathrm{div}\vec{B}=0$），即不存在磁单极子。但如果假设存在一个磁荷为 $g$ 的点磁单极子位于原点，它产生的磁场就是题目中的 $\vec{B}=\frac{g}{r^2}{\vec{e}}_r$。

为了用磁矢势 $\vec{A}$ 来描述这个磁场（即 $\vec{B}=\mathrm{rot}\vec{A}$），物理学家发现无法在整个空间找到一个无奇点的矢量场。题目中的 $\vec{A}$ 在 $\theta =\pi$ （负z轴）处发散，被称为狄拉克弦（Dirac String）；而 ${\vec{A}}^{\prime }$ 则在 $\theta =0$ （正z轴）处发散。第二问求出的 $\Phi =2g\varphi$ 实际上是这两个不同规范（Gauge）之间的规范变换函数。注意到 $\varphi$ 是方位角，因此 $\Phi$ 不是一个单值函数（转一圈增加了 $4\pi g$）。在量子力学中，为了保证波函数的单值性，这会导致著名的狄拉克量子化条件。第三问和第四问则利用高斯散度定理，从积分形式和微分形式两个角度严格证明了该磁场的源是一个位于原点的点磁荷，引入三维狄拉克 $\delta$ 函数是描述这类点源的最标准数学工具。