0009-1998 东大工 数学 P7

概率统计 概率论 可靠性工程 随机过程

ある機器が時刻$t$において故障している確率$E$を

$$E(t)=\left(1-e^{-\lambda t}\right)$$

とする。ただし$\lambda$は正の実数とする。

(1) 新しい正常な1つの機器を時刻$t=0$に設置し，一定の時間間隔$T$で故障の検査を繰り返すとする。故障が発見されるまでの時間の期待値を求めよ。
(2) $N$個の新しい正常な機器を時刻$t=0$に設置した場合，時間$T$経過後の検査で故障数が$r$個である確率を求めよ。
(3) 前問で述べた検査をした後，故障していた機器を全て新しい正常な機器と交換することにする。これを時間間隔$T$ごとに繰り返すことを考える。ランダムに選んだ時刻において故障している機器の数を調べた場合に，その数の期待値を求めよ。

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解答：

(1)
故障が時刻 $t=kT(k=1,2,\dots )$ の検査で初めて発見される確率を $p_k$ とする。これは区間 $((k-1)T,kT]$ で機器が故障する確率に等しい。

$$\begin{array}{rl}{p}_k& =E(kT)-E((k-1)T)\\ & =(1-e^{-\lambda kT})-(1-e^{-\lambda (k-1)T})\\ & =e^{-\lambda (k-1)T}(1-e^{-\lambda T})\end{array}$$

$p=1-e^{-\lambda T}$ とおくと、$p_k=(1-p{)}^{k-1}p$ となり、成功確率 $p$ の幾何分布に従う。
発見されるまでの時間 $T_d$ の期待値は、

$$\begin{array}{rl}E[T_d]& =\sum _{k=1}^{\infty }(kT)p_k\\ & =T\sum _{k=1}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}p\\ & =T\cdot \frac{1}{p}\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{\frac{T}{1-e^{-\lambda T}}}$$

(2)
1つの機器が時間 $T$ 経過後に故障している確率は $p=E(T)=1-e^{-\lambda T}$ である。
各機器の故障は独立であるため、$N$個中 $r$ 個が故障する確率 $P_r$ は二項分布 $B(N,p)$ に従う。

$$\boxed{P_r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{r}\right)(1-e^{-\lambda T}{)}^r{e}^{-\lambda T(N-r)}}$$

（※ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{r}\right)$ は ${}_N{\mathrm{C}}_r$ と同義）

(3)
一定間隔 $T$ で交換が行われるため、各検査区間内の推移は確率的に同一（定常）である。
ランダムに選んだ時刻を、ある区間の始点からの経過時間 $\tau$ とすると、$\tau$ は一様分布 $U(0,T)$ に従う。
特定の時刻 $\tau \in [0,T)$ において1つの機器が故障している確率は $E(\tau )=1-e^{-\lambda \tau }$ であり、その時点での故障数の期待値は $N\cdot E(\tau )$ となる。
求める期待値 $\bar{M}$ は、これを $\tau$ について $[0,T)$ で平均（時間平均）したものであるから、

$$\begin{array}{rl}\bar{M}& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}NE(\tau )d\tau \\ & =\frac{N}{T}{\int }_0^T(1-e^{-\lambda \tau })d\tau \end{array}$$

定積分を計算すると、

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T(1-e^{-\lambda \tau })d\tau & ={\left[\tau +\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda \tau }\right]}_0^T\\ & =T+\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda T}-\frac{1}{\lambda }\\ & =T-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda }\end{array}$$

よって、

$$\boxed{N\left(1-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda T}\right)}$$

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补充说明：

这是一道结合了指数分布无记忆性与更新过程（Renewal Process）的可靠性工程概率题。

第一问考察了离散化时间下的期望计算。设备的寿命服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，累积分布函数即为给定的 $E(t)$。由于每隔时间 $T$ 检查一次，发现故障所需的时间实际上是一个离散的随机变量（以 $T$ 为步长）。该过程可视为伯努利试验，每个区间内发生故障的概率为 $p=1-e^{-\lambda T}$。因此，发现故障所需的检查次数服从几何分布，几何分布的期望是 $1/p$，乘以步长 $T$ 即可得到时间的期望。

第二问非常直接，由于设备故障是相互独立的事件，且每个设备在时间 $T$ 时发生故障的概率为 $p$，因此在 $N$ 个设备中观察到 $r$ 个故障的概率直接套用二项分布（Binomial distribution）的公式即可。

第三问是全题的亮点，涉及了稳态系统中的时间平均（Time Average）概念。由于系统每隔 $T$ 时间就会将坏设备全部换新，整个系统的运作在每个 $[kT,(k+1)T)$ 周期内是不断重复的。题目要求“在一个随机选定的时刻”查看故障数，这意味着该时刻在时间轴上是均匀分布的（即该时刻落在周期内任意一点 $\tau$ 的概率密度为 $1/T$）。因此，我们只需要计算出一个周期内各个时刻故障设备数量期望的定积分，再除以周期长度 $T$ 即可。