0008-1998 东大工 数学 P7

线性代数 常微分方程 东大工 1998年 数学

$x,y$ に関する連立一階微分方程式

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}xy\end{array}\right]& =A\left[\begin{array}{c}xy\end{array}\right],\text{ただし}A\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-1& 32& \alpha \end{array}\right]\text{①}\end{array}$$

を考える。$\alpha$ は実数であり，$-\infty$ から $+\infty$ までの値をとるものとする。
以下の問いに答えよ。
(1) $\alpha$ の変化に伴う行列 $A$ の2つの固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ の変化の様子を $\alpha -\lambda$ 平面に図示せよ。
(2) 行列 $A$ の2つの固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ として，微分方程式①の一般解を求めよ。
(3) 時刻 $t=0$ での初期値を $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right](x_0\ne 0,y_0\ne 0)$ とする。$\underset{t\to \infty }{\lim }\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ を求めよ。
(4) $x-y$ 平面上の点 $(x_0,y_0)$ を微分方程式①の初期値 $\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]$ とし，解 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ の時間変化の様子を $x-y$ 平面に描いたものを状態平面軌跡という。$x-y$ 平面上の任意の点を微分方程式①の初期値としたときの状態平面軌跡群の概略図を示せ。$\alpha$ の値によって状態平面軌跡群の様子は異なるので注意すること。

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解答：

(1)
特性方程式は $|\lambda I-A|=0$ より、

$${\lambda }^2+(1-\alpha )\lambda -(\alpha +6)=0$$

これを変形すると $(\lambda +1)(\lambda -\alpha )=6$ となる。
したがって、$\alpha -\lambda$ 平面上のグラフは、直線 $\lambda =-1$ および $\lambda =\alpha$ を漸近線とする双曲線となる。

$$\boxed{(\lambda +1)(\lambda -\alpha )=6\text{（漸近線}\lambda =-1,\lambda =\alpha \text{の双曲線）}}$$

(2)
固有値 ${\lambda }_i$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{v}}_i$ は、$(A-{\lambda }_{i}I){\mathbf{v}}_i=0$ より、

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}-1-{\lambda }_i& 32& \alpha -{\lambda }_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{i1}{v}_{i2}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}00\end{array}\right]\\ ⟹{\mathbf{v}}_i& =\left[\begin{array}{c}3{\lambda }_i+1\end{array}\right]\end{array}$$

任意定数を $C_1,C_2$ とおくと、一般解は以下のようになる。

$$\boxed{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=C_1\left[\begin{array}{c}3\\ {\lambda }_1+1\end{array}\right]e^{{\lambda }_{1}t}+C_2\left[\begin{array}{c}3\\ {\lambda }_2+1\end{array}\right]e^{{\lambda }_{2}t}}$$

(3)
解の漸近挙動は固有値の符号に依存する。解と係数の関係より ${\lambda }_1{\lambda }_2=-(\alpha +6),{\lambda }_1+{\lambda }_2=\alpha -1$。
・ $\alpha <-6$ のとき：${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$ となり、指数項は $0$ に収束する。

$$\boxed{\underset{t\to \infty }{\lim }\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]}$$

・ $\alpha =-6$ のとき：${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=-7$。初期条件から $C_1\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]$。これを解くと $C_1=\frac{2x_0+y_0}{7}$。

$$\boxed{\underset{t\to \infty }{\lim }\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\frac{2x_0+y_0}{7}\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]}$$

・ $\alpha >-6$ のとき：少なくとも一方の固有値が正（${\lambda }_1>0$）となるため、一般の初期値に対しては発散する。
$\boxed{\text{発散（}\infty \text{）}}$

(4)
$\alpha$ の値に応じた状態平面軌跡群（相図）の概略：
・ $\boxed{\alpha <-6}$ : 両固有値が負の実数。原点は安定結節点（Stable Node）であり、すべての軌跡は原点に向かって収束する。
・ $\boxed{\alpha =-6}$ : 固有値が $0$ と $-7$。直線 $y=\frac{1}{3}x$ 上のすべての点が平衡点となる。軌跡はこの直線に向かって、固有ベクトル $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$ と平行な直線軌道に沿って収束する。
・ $\boxed{\alpha >-6}$ : 固有値が正負の異符号。原点は鞍点（Saddle Point）であり、安定多様体（負の固有値方向）から近づき、不安定多様体（正の固有値方向）へ遠ざかる双曲線状の軌跡を描く。

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补充说明：

本题全面考察了常系数线性常微分方程组的解析求解与动态系统相平面分析（Phase Plane Analysis）。
方程组 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ 的零解稳定性完全由系统矩阵 $A$ 的特征值决定。通过特征方程 ${\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)=0$，我们可以直接利用行列式 $\det (A)=-(\alpha +6)$ 和迹 $\text{tr}(A)=\alpha -1$ 来分析特征值的符号：

1. 当 $\det (A)>0$（即 $\alpha <-6$）时，两特征值同号，且由于此时迹 $\text{tr}(A)<0$，两特征值必均为负数。系统的能量表现为耗散，相轨迹在二维平面上表现为稳定结点（Stable Node），所有初始状态最终都会汇聚于原点。
2. 当 $\det (A)<0$（即 $\alpha >-6$）时，两特征值必然一正一负。系统存在一个稳定方向和一个不稳定方向，原点成为鞍点（Saddle Point）。除非初始状态严格位于稳定流形上，否则轨迹最终将沿不稳定流形方向发散至无穷远。
3. 处于临界分岔点 $\alpha =-6$ 时，矩阵退化为奇异矩阵，出现零特征值。此时系统不再只有孤立的平衡点，而是沿着零特征值对应的特征向量方向（即 $x=3y$）形成了一条连续的“平衡线”。