0007-1997 东大工 机械 P5

力学 机械工程 汽车动力学 机械振动

手動変速式の自動車の駆動系は、エンジンから変速機と差動歯車の2段階減速を経て車輪までつながっている。いまここで、下に示すような車両データを有する自動車の運動について以下の問いに答えよ。

(1) 変速機が1速の状態で平らな道を直進加速することを考える。エンジン回転速度が900rpmで定常走行状態にある時、瞬時に最大トルクにて加速するものとすると、車速が40km/hとなるまでに何秒かかり、何m進むか求めよ。ただし、簡単のため、軸系の回転慣性を無視し、車輪はすべらず、車速が低いので走行抵抗も考えないでよい。

(2) (1)の状態においては、実際には駆動系に主としてアクスル軸がねじれるねじり振動が発生し、その結果自動車の速度は変動しながら上昇していく状況が見られる。このねじり振動について検討する。
(a) まず、車両の運動を考えると、並進運動の系は、図1-1に示すような軸系の回転円板モデルに置き換えられる。ここで、車両の等価慣性モーメントとは、車両の質量を回転慣性に置き換えたものであり、車両質量の前進方向の運動エネルギと回転円板の運動エネルギを、等値として算出できる。この等価慣性モーメントを求めよ。
(b) 図1-1の駆動系の回転円板モデルは。剛性の高い軸を剛体としたり、慣性モーメントの小さい部分を無視すると、図1-2のような減速つき回転円板モデルに近似でき、さらに減速比分を換算して等価なねじりばねと回転円板に置き換えると、図1-3のような2円板系に近似できる。この最終的なモデルで、エンジン部を基本とした換算ねじりばね定数と換算車両等価慣性モーメントを求めよ。
(c) この2円板系の固有振動数を求めよ。

〔車両データ〕
車両質量 $1000[\mathrm{kg}]$ エンジン最大トルク $100[\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}]$ 車輪半径 $0.3[\mathrm{m}]$
エンジン部の慣性モーメント $0.2[\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2]$
差動歯車の減速比 $3.50$ 変速機の減速比 1速: $4.20$
アクスル軸ねじりばね定数: $5.03\times 10^3[\mathrm{N}\cdot m/rad]$

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解答：

総減速比 $i=3.50\times 4.20=14.7$ とする。

(1)
車輪の駆動力 $F$、車両の加速度 $a$ は：

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{T_e\cdot i}{R}\\ & =\frac{100\times 14.7}{0.3}\\ & =4900\mathrm{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}a& =\frac{F}{M}\\ & =\frac{4900}{1000}\\ & =4.9m/{\mathrm{s}}^2\end{array}$$

初速度 $v_0$、目標速度 $v$ は：

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =\left(900\times \frac{2\pi }{60}\right)\times \frac{R}{i}\\ & =30\pi \times \frac{0.3}{14.7}\\ & =\frac{30\pi }{49}\\ & \approx 1.92m/s\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v& =\frac{40}{3.6}\\ & =\frac{100}{9}\\ & \approx 11.11m/s\end{array}$$

所要時間 $t$ および 移動距離 $x$ は等加速度直線運動の公式より：

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{v-v_0}{a}\\ & \approx \frac{11.11-1.92}{4.9}\\ & \approx 1.88\mathrm{s}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}x& =\frac{v^2-v_0^2}{2a}\\ & \approx \frac{11.11^2-1.92^2}{2\times 4.9}\\ & \approx 12.2\mathrm{m}\end{array}$$ $$\boxed{t\approx 1.88\mathrm{s},x\approx 12.2\mathrm{m}}$$

(2)(a)
運動エネルギーの等価性 $\frac{1}{2}M{v}^2=\frac{1}{2}{I}_v{\omega }_w^2$ および $v=R{\omega }_w$ より：

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}M(R{\omega }_w{)}^2& =\frac{1}{2}{I}_v{\omega }_w^2\\ ⟹I_v& =M{R}^2\end{array}$$ $$I_v=1000\times 0.3^2=90\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$$ $$\boxed{I_v=90\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2}$$

(2)(b)
エンジン軸側への換算（減速比 $i=14.7$ による変換）を行う。
換算車両等価慣性モーメント $I_{ve}$：

$$\begin{array}{rl}{I}_{ve}& =\frac{I_v}{i^2}\\ & =\frac{90}{14.7^2}\\ & =\frac{90}{216.09}\\ & \approx 0.416\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2\end{array}$$

換算ねじりばね定数 $k_{ae}$：

$$\begin{array}{rl}{k}_{ae}& =\frac{k_a}{i^2}\\ & =\frac{5.03\times 10^3}{14.7^2}\\ & \approx 23.28Nm/rad\end{array}$$ $$\boxed{I_{ve}\approx 0.416\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2,k_{ae}\approx 23.28Nm/rad}$$

(2)(c)
2円板系の固有角振動数 ${\omega }_n$ は、エンジン部慣性モーメント $I_e=0.2\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ を用いて：

$$\begin{array}{rl}{\omega }_n& =\sqrt{k_{ae}\left(\frac{1}{I_e}+\frac{1}{I_{ve}}\right)}\\ & =\sqrt{23.28\times \left(\frac{1}{0.2}+\frac{1}{0.416}\right)}\\ & \approx \sqrt{23.28\times (5+2.40)}\\ & \approx 13.1rad/s\end{array}$$

固有振動数 $f_n$ は：

$$\begin{array}{rl}{f}_n& =\frac{{\omega }_n}{2\pi }\\ & \approx \frac{13.1}{2\pi }\\ & \approx 2.09\mathrm{Hz}\end{array}$$ $$\boxed{{\omega }_n\approx 13.1rad/s(f_n\approx 2.09\mathrm{Hz})}$$

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补充说明：

这道题是汽车拖拉机学以及机械振动学中非常经典的传动系动力学建模问题。

第一问主要考察基本的牛顿第二定律在车辆纵向动力学中的应用。需要注意的是对转速、车速等物理量单位的换算（比如 $\mathrm{rpm}$ 转化为 $rad/s$，$km/h$ 转化为 $m/s$），然后通过总传动比 $i$ 将发动机扭矩放大并作用到车轮上，转换为地面的驱动力。计算过程是标准的匀加速直线运动模型。

第二问则深入到了传动系的扭转振动（Torsional Vibration）。由于车辆在加速时，半轴（Axle shaft）会发生弹性扭转变形，这导致动力传递并非绝对刚性。为了简化分析：

1. 首先将整车平移的动能等效为车轮轴上的一个假想旋转圆盘的转动动能，得出等效转动惯量 $I_v=M{R}^2$。
2. 为了建立统一的二自由度振动模型（即图1-3的2圆盘模型），必须将从动侧（车轮侧）的物理量全部折算到主动侧（发动机侧）。根据能量守恒律，折算到发动机轴上的等效转动惯量和等效扭转刚度，都需要除以总传动比的平方（即 $i^2$）。
3. 最后应用无阻尼双质量系统的自由振动公式 ${\omega }_n=\sqrt{k_e(\frac{1}{I_1}+\frac{1}{I_2})}$ 即可求出传动系统的固有频率。这在实际工程中用于评估汽车起步或换挡时是否会产生“抖动（Judder）”现象。