0006-1997 东大工 数学 P4

概率统计 概率论 随机游走
図のように単位円周上を運動する粒子を考える。この粒子は $(1,0)$ から出発して各ステップで角度 $\alpha$ または $-\alpha$ だけ移動する。$\alpha$ は正の定数である。各移動は独立な確率的事象で，その向きは時計回り，反時計回り等確率であるとする。$N$ ステップ後の粒子の座標を $(x_N,y_N)$ としたとき，次の問いに答えよ。

(1) $x_N$ の平均値 $⟨x_N⟩$ を求めよ。
(2) $y_N^2$ の平均値 $⟨y_N^2⟩$ を求めよ。

---

解答：

$i$ 番目のステップでの移動角を ${\theta }_i\in \{\alpha ,-\alpha \}$ とすると、題意より $P({\theta }_i=\alpha )=\frac{1}{2},P({\theta }_i=-\alpha )=\frac{1}{2}$ である。
$N$ ステップ後の総移動角 ${\Theta }_N$ は ${\Theta }_N=\sum _{i=1}^N{\theta }_i$ と表せる。各 ${\theta }_i$ は互いに独立である。

(1)
オイラーの公式より、$z_N=x_N+i{y}_N=e^{i{\Theta }_N}$ とおく。

$$\begin{array}{rl}⟨z_N⟩& =⟨e^{i{\sum }_{j=1}^N{\theta }_j}⟩\\ & =\prod _{j=1}^N⟨e^{i{\theta }_j}⟩\end{array}$$

各ステップの期待値は、

$$\begin{array}{rl}⟨e^{i{\theta }_j}⟩& =\frac{1}{2}{e}^{i\alpha }+\frac{1}{2}{e}^{-i\alpha }\\ & =\cos \alpha \end{array}$$

よって、$⟨z_N⟩=(\cos \alpha {)}^N$ となる。
$x_N$ は $z_N$ の実部であるため、

$$\boxed{⟨x_N⟩=(\cos \alpha {)}^N}$$

(2)
半角の公式より、$y_N^2={\sin }^2{\Theta }_N=\frac{1-\cos (2{\Theta }_N)}{2}$ である。
ここで、$\cos (2{\Theta }_N)$ の期待値を求める。
(1) と同様に、$w_N=e^{i2{\Theta }_N}$ とおくと、

$$\begin{array}{rl}⟨w_N⟩& =⟨e^{i{\sum }_{j=1}^{N}2{\theta }_j}⟩\\ & =\prod _{j=1}^N⟨e^{i2{\theta }_j}⟩\end{array}$$

各ステップについて、

$$\begin{array}{rl}⟨e^{i2{\theta }_j}⟩& =\frac{1}{2}{e}^{i2\alpha }+\frac{1}{2}{e}^{-i2\alpha }\\ & =\cos (2\alpha )\end{array}$$

よって、$⟨e^{i2{\Theta }_N}⟩=(\cos (2\alpha ){)}^N$ であり、その実部は $⟨\cos (2{\Theta }_N)⟩=(\cos (2\alpha ){)}^N$ となる。
したがって、

$$\boxed{⟨y_N^2⟩=\frac{1-(\cos (2\alpha ){)}^N}{2}}$$

---

补充说明：

这是一道经典的圆周上的随机游走（Random Walk）问题，结合了概率论与三角函数的性质。

第一问中，要求解 $x$ 坐标的期望值。最直接且优雅的解法是引入复平面，利用欧拉公式将坐标表示为复指数形式 $e^{i{\Theta }_N}$。由于每一步的游走都是相互独立的，复指数乘积的期望可以拆分为各个复指数期望的连乘。每一步的期望恰好等于 $\cos \alpha$，经过 $N$ 步连乘后取实部即可直接得出结果。如果不使用复数，也可以通过三角函数的和差化积公式建立 $⟨x_N⟩$ 与 $⟨x_{N-1}⟩$ 之间的递推关系来求解，即 $⟨\cos ({\Theta }_{N-1}+{\theta }_N)⟩=⟨\cos {\Theta }_{N-1}⟩⟨\cos {\theta }_N⟩-⟨\sin {\Theta }_{N-1}⟩⟨\sin {\theta }_N⟩$，由于步向是对称的，正弦的期望为零，同样可以得到公比为 $\cos \alpha$ 的等比数列。

第二问要求 $y_N^2$ 的期望值。这里切忌直接求 $y_N$ 的期望后再平方（因为存在方差）。由于 $y_N=\sin {\Theta }_N$，遇到平方项应立即联想到三角函数的降幂公式（半角公式），将其转化为与 $\cos (2{\Theta }_N)$ 相关的线性期望。此时，问题就巧妙地转化为了步长为 $2\alpha$ 的随机游走的 $x$ 坐标期望问题。直接复用第一问的复数连乘逻辑，将 $\alpha$ 替换为 $2\alpha$ 即可迅速推导出结果。