0005-1997 东大工 数学 P3

微分积分 多重积分 向量分析 微分拓扑
2次元平面上の領域$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le a,0\le y\le b\}$から単位球面への写像$M$を考える。

$$\begin{array}{rlrlrl}M:(x,y)& & & & & \\ \to \vec{n}(x,y)& =(n_x,n_y,n_z)& & & & \end{array}$$

ここで$n_x^2+n_y^2+n_z^2=1$である。ただし領域$D$の周上では$\vec{n}$は同一の値を取るものとする。このとき次の積分

$$I=\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{a}dx{\int }_0^{b}dy\vec{n}\cdot \left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial y}\right)$$

が整数値を取ることを次の順序で証明せよ。
(1) 極座標を導入し$\vec{n}=(\cos \varphi \sin \theta ,\sin \varphi \sin \theta ,\cos \theta )$と書いた時，
$\vec{n}\cdot \left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial y}\right)$を$\theta$と$\varphi$で表せ。
(2) 写像$(x,y)\to (\theta (x,y),\varphi (x,y))$に伴うヤコビアン$J=\frac{\partial (\theta ,\varphi )}{\partial (x,y)}$を具体的に書き表せ。
(3) $I$が整数であることを示せ。

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解答：

(1)
連鎖律より、

$$\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}=\frac{\partial \vec{n}}{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{\partial x}+\frac{\partial \vec{n}}{\partial \varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x}$$ $$\frac{\partial \vec{n}}{\partial y}=\frac{\partial \vec{n}}{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{\partial y}+\frac{\partial \vec{n}}{\partial \varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial y}$$

外積を計算すると、

$$\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial y}=\left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial \varphi }{\partial y}-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial \theta }{\partial y}\right)\left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial \varphi }\right)$$

ここで、各偏微分は、

$$\frac{\partial \vec{n}}{\partial \theta }=(\cos \varphi \cos \theta ,\sin \varphi \cos \theta ,-\sin \theta )$$ $$\frac{\partial \vec{n}}{\partial \varphi }=(-\sin \varphi \sin \theta ,\cos \varphi \sin \theta ,0)$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial \vec{n}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial \varphi }& =(\cos \varphi {\sin }^2\theta ,\sin \varphi {\sin }^2\theta ,\cos \theta \sin \theta )\\ & =\sin \theta \vec{n}\end{array}$$

$\vec{n}\cdot \vec{n}=1$ より、スカラー三重積は以下となる。

$$\boxed{\vec{n}\cdot \left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{n}}{\partial y}\right)=\sin \theta \left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial \varphi }{\partial y}-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial \theta }{\partial y}\right)}$$

(2)
ヤコビ行列の行列式より、

$$\boxed{J=\frac{\partial (\theta ,\varphi )}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \theta }{\partial x}& \frac{\partial \theta }{\partial y}\\ \frac{\partial \varphi }{\partial x}& \frac{\partial \varphi }{\partial y}\end{array}\right|=\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial \varphi }{\partial y}-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial \theta }{\partial y}}$$

(3)
(1)と(2)の結果を積分$I$に代入する。

$$I=\frac{1}{4\pi }{\iint }_D\sin \theta Jdxdy$$

変数変換定理を用いると、積分変数を$(x,y)$から$(\theta ,\varphi )$へ変換できる。

$$I=\frac{1}{4\pi }{\iint }_{M(D)}\sin \theta d\theta d\varphi$$

積分 $\iint \sin \theta d\theta d\varphi$ は、写像先の単位球面上における微小立体角（面積要素）の積分を表す。
題意より、領域$D$の境界（周上）は球面上のただ1点に写像される。これは、位相幾何学的に領域$D$を一点コンパクト化して球面$S^2$とみなし、写像$M:S^2\to S^2$を考えていることに等しい。
このとき、像$M(D)$は単位球面を重複度込みで整数回（$k$回）すっぽりと覆い尽くす（写像度）。
単位球面の全表面積は$4\pi$であるため、

$${\iint }_{M(D)}\sin \theta d\theta d\varphi =4\pi k(k\in \mathbb{Z})$$

よって、

$$\boxed{I=\frac{1}{4\pi }(4\pi k)=k(k\text{は整数})}$$

題意は示された。

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补充说明：

这道题不仅是多重积分和多元函数微分学的经典应用，更深刻地触及了微分拓扑与凝聚态物理中的核心概念。题目中要求计算的积分 $I$ 在几何上表示由矩形区域 $D$ 映射到单位球面上所覆盖的总面积（带有正负朝向）与单位球面总面积 $4\pi$ 的比值。

第一问和第二问通过链式法则和雅可比行列式的推导，揭示了被积函数的本质：它正是球面坐标下的面积微元 $\sin \theta d\theta d\varphi$ 从 $(x,y)$ 平面拉回（Pullback）的雅可比放大率。三重标量积 $\vec{n}\cdot ({\vec{n}}_x\times {\vec{n}}_y)$ 直观上就是由向量 $\vec{n}$ 及其偏导数构成的平行六面体体积，对于单位向量而言，这恰好是它在球面扫过的有向面积。

第三问是全题的精华所在。题目给出了一个极其关键的边界条件：“在区域 $D$ 的边界上，向量 $\vec{n}$ 取相同的值”。这意味着原本的二维矩形平面的边界被“捏”在了一起，映射到了球面上的某一个极点。在拓扑学中，这种将平面的无穷远处或特定边界等同于一点的操作叫做一点紧致化，它将平坦的二维区域变成了拓扑球面 $S^2$。因此，这个映射本质上是一个从球面到球面（$S^2\to S^2$）的连续映射。数学上，这种映射会完整地包裹目标球面整数次，这个整数在拓扑学中被称为 Brouwer 映射度（Degree）。在物理学，尤其是研究磁性材料、液晶或粒子物理的非线性 $\sigma$ 模型中，这个积分值 $I$ 正是斯格明子（Skyrmion）的拓扑荷（Topological Charge）或缠绕数，其必然为整数的特性保证了这些拓扑缺陷的稳定性。