複素関数による平面から平面への写像について考える。
(1) 関数によるの像を求めよ。
(2) 関数が単位円の内部で1対1写像であることを示せ。また，これを利用して，関数も単位円の内部で1対1写像であることを示せ。
(3) 関数によって単位円の内部は平面上のどのような領域に写されるか。
解答：
(1)
とおく。
とすると、
のとき、より、像は楕円：
のとき、 より、像は実軸上の線分：
(2)
かつ とする。
と仮定すると、 となるが、 に矛盾する。
よって であり、1対1写像である。（証明終）
とおく。 で は1対1である。
対象の関数は
において、 より 。
変換 は1次分数変換（メビウス変換）であり、 で1対1写像である。
1対1写像の合成も1対1写像であるため、関数 は で1対1写像である。（証明終）
(3)
(2)より を介して考える。
(1)より、単位円 の 平面における像は線分 である。
のとき となるため、境界の対応から の による像は である。
次に、 による の像を求める。
境界 の像を調べる。
実数 が から へ動くとき、 は から へ動く。
したがって、 は から へ実軸上を動く。
境界の像は実軸上の区間 である。内部の点 は に写り、これは境界の像に含まれない。
よって求める領域は、複素平面全体から実軸上の区間 を除いた領域である。
补充说明：
本题考察了复变函数中的共形映射（Conformal Mapping），特别是著名的茹科夫斯基变换（Joukowsky Transform）。第一问推导了茹科夫斯基变换的基本性质，将同心圆映射为共焦椭圆，将单位圆映射为实轴上的线段 。第二问利用反证法巧妙地证明了该变换在单位圆内的单射性。对于复合映射，通过同除以 的代数变形提取出 的结构，将其转化为茹科夫斯基变换与莫比乌斯变换的复合。因为莫比乌斯变换在其极点外总是双射，所以整个复合映射的单射性得以证明。第三问求解映射后的区域。根据边界对应原理，单位圆的边界被映射到了 平面的 线段。因为内部的点 被映射到了无穷远点，所以单位圆内部被映射成了割去线段 的全平面。接着，再将这条割线代入后半段的莫比乌斯变换中，求得新边界为实轴上的射线 。映射后的最终区域即为整个复平面割去这条射线。