0002-1997 东大工 数学 P1

线性代数 常微分方程
第2問　$x,y,z$ に関する連立常微分方程式

$$\dot{u}=Au$$

について以下の問いに答えよ。ただし，

$$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{ccc}-1& a& 1\\ 1& -a-2& 0\\ 0& 2& -1\end{array}\right]u=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\dot{u}=\left[\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\\ \frac{dz}{dt}\end{array}\right]\end{array}$$

であり，$a$ は実数とする。

(1) 行列$A$のすべての固有値を求めよ。
(2) 微分方程式 $\dot{u}=Au$ は，$u=\nu e^{\lambda t}$ の形の特解をもつ。
$\lambda$は行列$A$の固有値，$\nu$は対応する固有ベクトルであることを示せ。
(3) 微分方程式 $\dot{u}=Au$ が減衰も発散もしない振動解を持つための$a$の値を求めよ。またこの時の解を以下の初期条件のもとで求めよ。

$$\begin{array}{rl}t& =0\text{ において }u=\left[\begin{array}{c}100\end{array}\right]\end{array}$$

---

解答：

(1)
特性方程式 $|\lambda I-A|=0$ を解く。

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -a& -1\\ -1& \lambda +a+2& 0\\ 0& -2& \lambda +1\end{array}\right|=0$$

展開して整理すると、

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^3+(a+4){\lambda }^2+(a+5)\lambda & =0\lambda ({\lambda }^2+(a+4)\lambda +a+5)\\ & =0\end{array}$$

よって、固有値は

$$\boxed{\lambda =0,\frac{-(a+4)\pm \sqrt{a^2+4a-4}}{2}}$$

(2)
$u=\nu e^{\lambda t}$ を $\dot{u}=Au$ に代入する。

$$\begin{array}{rl}\dot{u}& =\frac{d}{dt}(\nu e^{\lambda t})\\ & =\lambda \nu e^{\lambda t}\end{array}$$ $$Au=A(\nu e^{\lambda t})=(A\nu )e^{\lambda t}$$

したがって、

$$\lambda \nu e^{\lambda t}=A\nu e^{\lambda t}$$

$e^{\lambda t}\ne 0$ であり、非自明な解において $\nu \ne 0$ であるため、両辺を $e^{\lambda t}$ で割ると

$$A\nu =\lambda \nu$$

ゆえに、$\lambda$ は行列 $A$ の固有値であり、$\nu$ は対応する固有ベクトルである。

(3)
減衰も発散もしない振動解を持つためには、行列 $A$ が非零の純虚数の固有値を持つ必要がある。(1)の結果より、${\lambda }^2+(a+4)\lambda +a+5=0$ が純虚数解を持てばよい。
実部が $0$ となる条件より、$-(a+4)=0⟹a=-4$
このとき、判別式は $16-16-4=-4<0$ を満たし、固有値は $\lambda =0,\pm i$ となる。

$a=-4$ のとき、

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& -4& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 2& -1\end{array}\right]$$

${\lambda }_1=0$ の固有ベクトル ${\nu }_1$：$A{\nu }_1=0$ より ${\nu }_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right]$
${\lambda }_2=i$ の固有ベクトル ${\nu }_2$：$(A-iI){\nu }_2=0$ より ${\nu }_2=\left[\begin{array}{c}-2+i\\ 1\\ 1-i\end{array}\right]$

複素ベクトル関数 ${\nu }_2{e}^{it}$ の実部と虚部を求める。

$$\left[\begin{array}{c}-2+i\\ 1\\ 1-i\end{array}\right](\cos t+i\sin t)=\left[\begin{array}{c}-2\cos t-\sin t\\ \cos t\\ \cos t+\sin t\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}\cos t-2\sin t\\ \sin t\\ -\cos t+\sin t\end{array}\right]$$

一般解は実数定数 $C_1,C_2,C_3$ を用いて以下のように表される。

$$u(t)=C_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}-2\cos t-\sin t\\ \cos t\\ \cos t+\sin t\end{array}\right]+C_3\left[\begin{array}{c}\cos t-2\sin t\\ \sin t\\ -\cos t+\sin t\end{array}\right]$$

$t=0$ の初期条件 $u(0)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ を代入する。

$$C_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right]+C_3\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

連立方程式 $-2C_1-2C_2+C_3=1$、$C_1+C_2=0$、$2C_1+C_2-C_3=0$ を解くと、$C_1=1,C_2=-1,C_3=1$。
以上より、求める解は

$$\boxed{u=\left[\begin{array}{c}-2+3\cos t-\sin t\\ 1-\cos t+\sin t\\ 2-2\cos t\end{array}\right]}$$

---

补充说明：

这道题综合考察了线性代数中的特征值与特征向量，以及常系数线性微分方程组的求解。解题的核心在于将微分方程的解析解行为与矩阵特征值的代数性质联系起来。

在常微分方程组中，特征值实部的大小直接决定了解的渐近行为。如果特征值实部为正，含有自然指数的解会随时间指数级发散；如果实部为负，解会随时间指数级衰减。题目中要求解“不衰减也不发散的振荡解”，这从物理和数学上都意味着解的振幅必须保持恒定，因此对应特征值的实部必须严格为零，且虚部不能为零。这就构成了求参数 $a$ 的充要条件：特征多项式的二次项部分必须能解出一对纯虚根。

在求解初值问题时，遇到复数特征值不需要带入复指数进行复杂的复数域待定系数求解。利用欧拉公式展开复指数 $e^{it}$ 后，将复特征向量与复指数相乘，其结果的实部向量和虚部向量本身就是微分方程的两组线性无关的实值基础解系。直接用这两个实向量配合实特征值对应的实向量来构造一般解，再代入初值条件，可以大幅简化计算过程。