3次元空間の任意の点を点に移す，原点を通る軸のまわりの回転は，直交行列を使ってのように表せる。このとき以下の問いに答えよ。
(1) 回転および，その逆回転に対して不変な点の集合は
の実数倍で与えられることを示せ。
(2) 軸まわりの角度の回転を，軸まわりの角度の回転をとするとき，回転の合成も，原点を通る軸のまわりの回転である。その回転軸と回転角を求めよ。
解答：
(1)
不変な点 について かつ が成り立つ。
は直交行列であり であるから、
辺々を引くと、
ここで は交代行列であり、以下となる。
とおくと、方程式 は外積を用いて と同値になる。
したがって、 となり、題意は示された。
(2)
行列 はそれぞれ以下となる。
回転の合成 を計算する。
(1)の結果より、回転軸方向のベクトル は、
半角の公式を用いて整理すると、回転軸は の実数倍である。
回転角を とすると、行列の跡（Trace）について が成り立つ。
よって、
回転角は となる。
补充说明：
这道题深刻考察了三维空间中旋转矩阵的核心性质。在第一问中，利用正交矩阵的转置等于其逆矩阵这一关键特点，将旋转前后的不动点方程相减，巧妙地构造出了一个反对称矩阵（Skew-symmetric matrix）。在三维空间中，反对称矩阵与向量的乘法完全等价于向量的叉乘运算。通过这一转化，方程直接变成了求与特定向量叉乘为零的向量，从而极简地提取出了旋转轴的表达形式。
第二问则是第一问结论的直接代数应用。求出复合旋转的矩阵后，将对应的矩阵元素代入第一问推导出的公式中即可得到旋转轴。在得到初步的旋转轴表达式后，通过三角函数的半角公式提取公因子，可以将其化简为非常优美且对称的向量形式。至于求解旋转角，最普适且高效的方法是利用矩阵的迹（Trace）。因为无论在什么基底或坐标系下，三维旋转矩阵的迹是一个不变量，且恒等于 ，借助这个不变量即可直接避开复杂的特征值计算，迅速求解出合成后的旋转角度。